Distribuzione normale (gaussiana) Plotter

La distribuzione normale o di Gauss (dal nome di Carl Friedrich Gauss) è un importante tipo di distribuzione continua di probabilità nella stocastica. La sua funzione di densità di probabilità è chiamata anche funzione gaussiana, distribuzione normale gaussiana, curva di distribuzione gaussiana, curva gaussiana, curva a campana gaussiana, funzione a campana gaussiana, campana gaussiana o semplicemente curva a campana.

La distribuzione normale o di Gauss è definita come:

$f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} \frac{{(x - μ)}^{2}}{σ^{2}}}$

Il grafico di questa funzione di densità ha una forma a "campana" ed è simmetrico attorno al parametro μ come centro di simmetria, che rappresenta anche il valore atteso, la mediana e la modalità della distribuzione.

Grafico della funzione di distribuzione gaussiana

Utilizzando i cursori nella parte inferiore del grafico, è possibile variare i parametri della distribuzione di Gauss. L'intervallo dei parametri regolabili può essere specificato nei campi numerici. I punti rossi della curva a campana possono essere spostati. L'integrale della curva a campana viene calcolato per l'intervallo tra i punti. Poiché l'area totale della distribuzione di Gauss è normalizzata a uno, l'integrale corrisponde alla frazione dell'area. Ciò significa, ad esempio, che se i punti sono impostati a ±σ, l'area è 0,68 o 68% dell'area totale.

f(x)

f′(x)

2σ

Area:

Punti:

Gamme di assi

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Gamme di parametri

μ-min=

μ-max=

σ-min=

σ-max=

μ e σ sono i parametri della distribuzione normale. In μ si trova il centro della distribuzione e la curva a campana assume il suo massimo in quel punto. I punti di flesso della funzione si trovano a una distanza ±σ dal centro di simmetria.

Per le variabili casuali che si distribuiscono normalmente, vale quanto segue:

Nell'intervallo della deviazione ±σ dal valore medio μ si trova il 68,27% di tutti i valori misurati.
Nell'intervallo della deviazione ±2σ dal valore medio μ si trova il 95,45% di tutti i valori misurati.
Nell'intervallo della deviazione ±3σ dal valore medio μ si trova il 99,73% di tutti i valori misurati.

Il 50% di tutti i valori misurati ha una deviazione non superiore a 0,675σ dal valore medio μ
Il 90% di tutti i valori misurati ha una deviazione non superiore a 1,645σ dal valore medio μ
Il 95% di tutti i valori misurati ha una deviazione non superiore a 1,960σ dal valore medio μ
Il 99% di tutti i valori misurati ha una deviazione non superiore a 2,576σ dal valore medio μ

Adattamento della distribuzione gaussiana ai valori misurati

Curva

Punti:

2σ

3σ

50% Area

Gamme di assi

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Un input alternativo è possibile con il caricamento dei dati da file. I valori possono essere separati da virgola, spazio o punto e virgola. I valori devono essere forniti a coppie x₁,y₁,x₂,y₂...

Carica da file:

L'adattamento della curva della distribuzione gaussiana ai valori misurati viene effettuato calcolando la media ponderata dei valori misurati. La media ponderata corrisponde alla μ della distribuzione gaussiana. La deviazione standard dei valori misurati rispetto alla media μ è il σ nella formula della distribuzione normale.

$μ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}$

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}}$

La curva a campana visualizzata è la distribuzione gaussiana adattata moltiplicata per l'area A dei valori misurati.

$f (x) = \frac{A}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} \frac{{(x - μ)}^{2}}{σ^{2}}}$

L'area A viene calcolata con la formula del trapezio.

$A = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{(x_{i + 1} - x_{i}) (y_{i + 1} + y_{i})}{2}$

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